なんとか通信が安定しました。
無線LAN が云々以前の問題で、回線そのものに原因があったのです。
いろいろ試しても回線が切断されるので変だと思い、NTT に問い合わせしたところ、すぐに調べに来てくれました。
調査の結果、なんと ADSL モデムから NTT の局社まで全部がだめだったのです！（なんという偶然！）
行った調整は次のとおりです。
まず、外の電話線に付いている機器を交換して、局社で別の線に切り替えて、自宅の ADSL モデムとスプリッタを交換しました。これによって本来の速度を取り戻し、安定性も回復したようです。
「こんなこともあるんだなあ～」と変に感心してしまいました。さすがに回線のトラブルではどうしようも有りませんね。
ただ不思議なのは、夜１１時３０分ごろ以降の深夜は全く問題なく接続できたことです。
おそらく周辺のお宅で違う種類の ADSL か ISDN を使用していて、それが干渉していたのではないかと思うのです（←あくまで私の推理）。
極端にノイズに弱くなっていたわけなので、ちょっとしたことで切れるのは十分納得がいきます。そしてある時間帯になると、他の通信が無くなって安定性が増したのではないかと考えられます。
今回の件で改めて ADSL というのは脆弱なサービスであることを痛感しました。
早く光に変えたいですが、まだ開通できない地域なので仕方がありません。（NTTさん、はやくして～）
また、ADSL でも「モアスペシャル」の場合は、長距離用の通信方法が強力になっているので、プランを変更すればより安定する可能性があるそうです。
何はともあれ直ってよかったです。